Teorema de los monos infinitos

“Esta expresion de los ‘monos’ en realidad es una metáfora. Algunos podrían decir y creer que todos los teoremas son extremadamente complicados de entender, pero este, es mas simple de lo puedan creer.

La informacion detallada proviene de nuestros amigos de Genciecnia. Como explican en el siguiente articulo.

El Teorema de los Infinitos Monos es un enunciado muy conocido, que asegura que

Un mono aporreando una máquina de escribir durante un tiempo infinito podría llegar a escribir cualquier texto dado, como por ejemplo las obras completas de Shakespeare.

Este teorema se usa para ilustrar lo difícil que es intentar abarcar el concepto de infinito. El teorema es cierto, en un tiempo suficientemente grande el mono acabaría por escribir las obras completas de Shakespeare, y las de Cervantes también si hiciera falta, pero la probabilidad de que eso suceda en un intervalo de tiempo tan grande como la edad del Universo es prácticamente nula. ‘Infinito tiempo’ no es ‘mucho tiempo’, sencillamente es… infinito.

Otra variante del teorema afirma que infinitos monos podrían escribir cualquier texto dado en cualquier intervalo de tiempo (no necesariamente infinito). La analogía es la misma. ‘Infinitos monos’ no quiere decir un millón de monos, ni miles de millones, sencillamente quiere decir… infinitos.

Los ‘monos’ en realidad son una metáfora de cualquier dispositivo capaz de generar texto aleatoriamente. El teorema se puede generalizar, en el sentido de que cualquier experimiento aleatorio podrá producir un determinado resultado siempre que la experiencia se realice tantas veces como sea necesario.

Por ejemplo, es posible (aunque la probabilidad sea prácticamente nula), que al lanzar una moneda al aire obtengamos cara mil veces seguidas. Sólo hay que tirar la moneda un suficiente número de veces. De hecho, si lanzásemos la moneda infinitas veces, obtendríamos secuencias de un millón de caras seguidas, de un billón, o de todas las que queramos.

Cuando ‘infinitos monos’ significa muchísimos más monos que todas las partículas existentes en el Universo, e ‘infinito tiempo’ significa muchísimo más tiempo que cien veces la edad del Universo, el concepto de ‘infinito’ deja de tener sentido práctico, para ser una mera herramienta teórica. Aunque intuitivamente asociamos ‘infinito’ con ‘muy grande’, vemos en este caso que esto no siempre funciona.

Los experimentos realizados con simuladores informáticos han demostrado completamente este hecho, e incluso ‘tecleando’ a una velocidad miles de veces más rápida de lo que lo haría un mono real, sólo muy de cuando en cuando se obtienen más de dos palabras seguidas con sentido. En otro experimento, se dejó un teclado en una jaula con monos, y después de que se dedicaran mayormente a golpearlo con piedras y orinar sobre él quedó claro que no se trata de buenos ejemplos de generadores aleatorios.”

Bueno asi nos l explican ellos, de una forma mucho mas simple de lo que viene a continuacion. Su enunciado formal.

Enunciado Formal

A pesar de que el teorema de los monos infinitos es a menudo expresado de manera informal, un enunciado formal del mismo esclarecería su significado exacto. Es más fácil de expresar en las cadenas de texto de la ciencia de computadoras, que son secuencias finitas de caracteres de un determinado alfabeto. En este estado, las dos sentencias superiores podrían ser expresadas formalmente como:

  • Dado una cadena infinita donde cada carácter es elegido de manera aleatoria, cualquier cadena finita casi seguramente (probabilidad 1) ocurre como subcadena de la primera en alguna posición (de hecho, en infinitas posiciones).
  • Dada una infinita secuencia de infinitas cadenas iguales a la primera, donde cada carácter de cada cadena es elegido de forma aleatoria, cualquier cadena finita casi seguramente ocurre como un prefijo de una de esas cadenas infinitas (de hecho, como prefijo de infinitas de dichas cadenas en la secuencia).

Ambas sentencias se extraen sencillamente de la segunda máxima de Borel-Cantelli. Suponiendo que nuestro texto deseado tiene una longitud n, para el segundo teorema, Ek es el suceso de que la k-ésima cadena comience con el texto dado. Dado que esto tiene la probabilidad p no cero de ocurrir, la Ek es independiente y la suma inferior diverge, la probabilidad de que infinitas Ek ocurran es 1. El primer teorema es igual, salvo que dividimos la cadena aleatoria en bloques no sobrepuestos de n caracteres cada uno y hacemos Ek el evento en que el bloque k-ésimo iguala la cadena deseada.

\sum_{i=1}^\infty P(E_k) = \sum_{i=1}^\infty p = \infty.

De hecho, incluso yendo a infinito puede ser excesivo. Si el alfabeto tiene un tamaño a, entonces puede ser demostrado que la probabilidad de que una de las primeros an ocurra es al menos 1/2. Estonces, 20an intentos podrían ser suficientes para escribir el texto dado con una probailidad muy próxima a 1. El problema incluso hace paralelismo bien: k monos pueden escribir el texto k veces más rápido. Para un n pequeño no es demasiado malo. Por ej emplo, mil monos escribiendo letras al azar a un ritmo de 100 caracteres por minuto podrían probablemente escribir la palabra banana en unas seis semanas.

Este teorema es una instancia de la Ley Cero-Uno de Kolmogórov.

Gracias al staff de Genciencia y a Wikipedia.

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3 pensamientos en “Teorema de los monos infinitos

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